Sau khi Vương Kỳ xuất hiện, Phùng Lạc Y và Đồ Linh chủ động nhường một chỗ ngồi bên cạnh bàn, ra hiệu cho cậu ngồi xuống. Điều này cho thấy, họ đã công nhận năng lực của Vương Kỳ với tư cách là một nhà toán học, coi cậu là đồng đạo có địa vị ngang hàng chứ không phải bậc hậu bối. Đồ Linh còn mỉm cười với Vương Kỳ: "Ảo ảnh hiển hóa này của ngươi cũng đâu uống được trà, nên ta không rót cho ngươi nữa."

Phùng Lạc Y hỏi Vương Kỳ trước: "Mọi việc đã giải quyết xong xuôi cả chưa?"

"Vâng, phần hậu sự bên phía Cẩu Đại Bảo đã xử lý xong, bên đó chắc cũng có báo cáo rồi. Lần này, bên đó..."

"Việc cụ thể không cần nói cho ta biết. Ta chỉ cần biết không xảy ra chuyện gì là được." Phùng Lạc Y bình thản nói. Khi Vương Kỳ và Cẩu Đại Bảo bắt đầu thực chứng, đã có rất nhiều Thiên Kiếm nhắm thẳng vào bí địa đó. Với tình hình lúc bấy giờ, dù Cẩu Đại Bảo có thoát khỏi cái pháp khí Thiên Thần loại trạm không gian nhỏ bé kia, thì cũng chỉ bị Thiên Kiếm đuổi kịp rồi hoàn toàn bốc hơi mà thôi.

Phùng Lạc Y lược thuật lại cuộc đối thoại vừa rồi giữa mình và chân nhân Đồ Linh cho Vương Kỳ nghe. Vương Kỳ trước hết kinh ngạc khâm phục trước những gì chân nhân Đồ Linh đã làm, càng cảm thán hơn về sự kỳ diệu của các quy luật vật lý trong vũ trụ này.

Trong vũ trụ này, khái niệm máy Von Neumann xuất hiện sớm hơn cả máy Turing. Đây là một sự việc vô cùng kỳ lạ. Phùng Lạc Y và Đồ Linh đã dựa vào việc mô phỏng linh hồn sinh linh, quy phạm hóa ra kiến trúc Phùng thị, sau đó lại cơ giới hóa nó thêm một bước để đúc kết ra một "máy Turing" không quá nghiêm ngặt.

Chỉ có vũ trụ nơi các "hộp đen công nghệ" dễ hình thành như thế này mới có thể chống đỡ cho hiện tượng đó.

Hiện nay, nhận thức của tu sĩ Thần Châu về toán khí và bàn tính là như thế này: Trước hết, toán khí chắc chắn là phiên bản nâng cấp của bàn tính. Nhưng liệu giữa toán khí và bàn tính có phiên bản chuyển tiếp nào không?

Không ai biết.

Mà giờ đây, chân nhân Đồ Linh đang dựa vào bước tiến nhảy vọt của logic toán học để lấp đầy khoảng trống này.

Nghiên cứu này không phải là dự án "lấp đầy khoảng trống" để kiếm kinh phí. Nó xác định rõ nền tảng của toán khí, khiến sự phát triển của toán khí trở nên "chân thực".

Rất nhiều lý thuyết về toán khí đã có được nền tảng vững chắc hơn. Dư địa để nghiên cứu theo hướng toán khí cũng rộng mở hơn nhiều.

Mà theo lời Đồ Linh, đây chỉ là một "phụ phẩm". Ông ấy đã cải tiến lý thuyết toán khí trong lúc suy ngẫm cách vượt qua sự "bất định".

Còn vấn đề mà chân nhân Đồ Linh thực sự suy ngẫm mới là điều khiến Vương Kỳ hứng thú hơn.

"Ý ngài là... ngài vừa thử tạo ra một phương pháp suy luận logic để chứng minh... chứng minh một số vấn đề?"

"Ta hy vọng nó có thể vượt qua sự bất toàn của ngươi, nhưng có vẻ như đã thất bại." Chân nhân Đồ Linh mở bản thảo của mình ra, chỉ vào đó: "Trước tiên, chúng ta định nghĩa Thiên Nguyên, Địa Nguyên, Nhân Nguyên trong một biến thiên thức chưa biết, giống như cách chúng ta thường làm trong Thiên Nguyên thức, dùng những ký hiệu hư cấu để xử lý các biến thiên thức chưa biết. Sau đó, chúng ta giả định rằng mình có hai biến thiên thức là 'Đấu' và 'Ngưu' - đừng hỏi ta cụ thể nó là gì, cứ giả định là có một cái như vậy..."

Phùng Lạc Y bắt đầu thấy hứng thú. Lối tư duy cái gì cũng "giả định" như thế này quả thực rất hiếm gặp.

Ở phía bên kia, Vương Kỳ đã há hốc mồm.

"Đây... đây chẳng phải là..."

Đây là lambda calculus (phép tính lambda), một phương pháp chứng minh sự bất định khác từng tồn tại trong lịch sử Trái Đất.

Chính là phương pháp chứng minh của nhà toán học Church, thầy của Alan Turing.

Mặc dù Alan Turing cuối cùng đã chứng minh được lambda calculus và máy Turing là tương đương, đều là bằng chứng cho tính bất định. Nhưng hai phương pháp chứng minh này lại mang ý nghĩa khác biệt hoàn toàn trong toán học. Trong quá trình phát triển sau này, chứng minh bằng máy Turing và chứng minh bằng lambda calculus đều đã khai mở một đại lộ huy hoàng.

Nghĩ đến đây, Vương Kỳ nhìn khuôn mặt có phần thanh tú của chân nhân Đồ Linh, trong lòng có chút bồi hồi.

Thật không thể ngờ. Chứng minh bằng máy Turing và lambda calculus là hai mặt của một đồng xu, cùng chung đích đến nhưng lại đi những con đường khác nhau. Bản thân cậu trước đó đã mượn ngọn gió "tự quy chiếu" để sử dụng sự bất định của máy Turing. Rồi chân nhân Đồ Linh lại hoàn thiện tư duy của Church.

Đại tu sĩ của Thần Châu, tuy trên người đều có bóng dáng của một vài nhân vật nào đó ở Trái Đất, nhưng suy cho cùng, họ vẫn có sự sống riêng của mình.

Church là thầy của Alan Turing. Nhưng ở thế giới này, chân nhân Đồ Linh là tự học thành tài, mới tự mình đứng đầu Thiên Cơ Các, trấn áp vạn yêu ở Phù Tang.

Tuy nhiên, tư duy của Đồ Linh lẽ ra không nên khớp với Church mới phải chứ? Rốt cuộc chân nhân Đồ Linh đã bước ra bước này như thế nào?

Hai vị Tiêu Dao tu sĩ đều là người tư duy nhanh nhạy, trao đổi cũng rất chóng vánh. Ngay trong lúc Vương Kỳ đang ngẩn ngơ, chân nhân Đồ Linh đã nói xong ý tưởng mới của mình. Ông mỉm cười nói: "Thuật toán này cũng gọi là không tầm thường. Ta đã tự thử nghiệm, nó có thể chứng minh hầu như mọi mệnh đề, biểu đạt hầu như mọi hệ thống toán học - nó là một hệ thống hoàn bị."

Đây là suy ngẫm của chân nhân Đồ Linh về tính bất định, cũng là về tính bất toàn.

Phùng Lạc Y nói: "Nhưng Vương Kỳ trước đó cũng đã chứng minh rồi. Tính hoàn bị và tính tương thích sẽ không cùng tồn tại. Nếu đây là một thuật toán vạn năng, thì..."

"Thì nó tất nhiên là một thuật toán tự mâu thuẫn." Vương Kỳ ngón tay vạch trong không trung, tụ lại ánh sáng màu, viết ra từng dòng toán thức: "Đối với hệ thống logic có ý nghĩa, khả năng biểu đạt mạnh mẽ tất yếu sẽ đi kèm với những hạn chế không thể phá vỡ. Chúng ta thử thay thế một vài thuật toán rõ ràng là sai... ngài xem, cũng giải thích được đấy thôi."

Nếu là một lý thuyết, dù đúng hay sai, mặt chính hay mặt trái đều giải thích được, nói kiểu gì cũng có lý, thì cũng đồng nghĩa với việc chẳng có lý lẽ nào cả.

Chân nhân Đồ Linh thấy Vương Kỳ phản ứng nhanh nhạy, tán thưởng gật đầu: "Ngươi quả thực rất lợi hại. Ngay từ lúc bắt đầu, ta cũng đã nhận ra điều này. Chỉ là, lúc đó ta vẫn còn nghĩ có thể dựa vào việc áp đặt thêm nhiều 'giới hạn' để né tránh sự tự mâu thuẫn này."

"Không thể nào." Vương Kỳ lắc đầu: "Tự quy chiếu là thứ không thể vượt qua."

Tự quy chiếu, cũng là chướng ngại vật mà lambda calculus không thể vượt qua.

Trong thuật toán mang tên lambda này, nguyên mẫu của lambda là một hàm số. Khi định nghĩa hạng tử lambda, nó được phép xử lý bất kỳ hàm số nào thành một hạng tử lambda khác.

Đã là "bất kỳ hạng tử hàm số nào", thì tất nhiên đã bao gồm cả chính bản thân hạng tử lambda đó.

Vậy thì, nó có thể xử lý chính nó không?

"Tự quy chiếu, một khái niệm kỳ diệu làm sao." Chân nhân Đồ Linh tán thán: "Ta cảm thấy, phần cốt lõi trong công việc hiện tại của chúng ta đều liên quan mật thiết đến nó."

"Sự phân biệt thật giả của câu 'lời này không thật', đã tồn tại hàng vạn năm, nhưng trước Vương Kỳ, chưa từng có ai nhận ra nội hàm đáng sợ bên trong nó." Phùng Lạc Y gật đầu, đồng ý với quan điểm của Đồ Linh.

Bất toàn cũng vậy, bất định cũng vậy. "Tự quy chiếu" này dường như chính là một cột mốc trên con đường logic. Nó chính là một cột mốc nổi bật nằm ngay trên giới hạn của bản thân toán học.

Dường như có một đường biên giới như vậy, khóa chặt sự phát triển của logic.

Vượt qua giới hạn này, hoặc là chỉ có thể đối mặt với vòng lặp vô tận, hoặc là chỉ có thể tự mâu thuẫn, không đứng vững được gót chân.

Làm thế nào để vượt qua giới hạn này, từng là vấn đề mà các nhà toán học quan tâm nhất.

"Lần thử nghiệm này coi như thất bại." Chân nhân Đồ Linh chậm rãi nói: "Thuật toán vạn tượng này còn có ý nghĩa khác, ta sẽ tổng hợp lại sau. Tiếp theo đây ta nói, lại là một ý tưởng nhỏ của riêng ta."

"Giả sử, chỉ là giả sử thôi." Chân nhân Đồ Linh nhấn mạnh: "Nếu chúng ta thực sự có thể vượt qua giới hạn đó - ở đây chúng ta tạm thời không bàn cụ thể vượt qua bằng cách nào, chỉ nói là chúng ta có thể làm được điều đó. Cứ cho là Thiên Đạo đột nhiên trở nên rẻ mạt, những linh tê như 'Đại Đạo chi âm', 'Phạn Thánh thiền xướng' tràn ngập giữa đất trời, sau đó chúng ta có thể dễ dàng tạo ra một cỗ toán khí như vậy, nó kết nối trực tiếp với Đại Đạo, có thể cho ra đáp án của mọi vấn đề cụ thể..."

Vương Kỳ hiểu rõ trong lòng. Điều chân nhân Đồ Linh nói, ở Trái Đất được gọi là "máy tiên tri" (Oracle machine).

"Máy tiên tri", là một cỗ máy Turing khác kết nối với "Thượng Đế", là hộp đen nhốt các nhà tiên tri. Giả sử có một máy tiên tri có khả năng phán đoán số nguyên tố, ngoài việc làm được mọi thứ máy Turing bình thường làm được, nó còn có thể lập tức phán đoán xem một số tự nhiên nào đó viết trên băng giấy có phải số nguyên tố hay không, mà không cần thực sự tính toán.

Vậy thì, một số vấn đề vốn liên quan đến tự quy chiếu, liên quan đến mâu thuẫn, máy tiên tri có thể giải quyết được không?

Ví dụ như mâu thuẫn gây ra bởi tự quy chiếu.

"Đây chính là một phỏng đoán khác vừa được đưa ra gần đây. Cái 'tự quy chiếu' này, rốt cuộc có thể vượt qua được không?" Chân nhân Đồ Linh cười khổ: "Đại Đạo Thánh Âm hư cấu ra kia, rốt cuộc có thể giải quyết vấn đề này không?"

Toán học thường có phương pháp chứng minh kiểu này, chính là giả định một thứ gì đó tồn tại trước, sau đó dựa trên tiền đề đó mà suy diễn logic.

Suy diễn mà chân nhân Đồ Linh đưa ra, bản chất chính là tìm ra một sự tồn tại toàn năng trong tưởng tượng, giả định nó có thể giải quyết các vấn đề vốn bất định, rồi xem rốt cuộc nó có thể giải quyết được những gì.

"Thứ chúng ta tưởng tượng ra, rốt cuộc có thể hoàn thành sự nghiệp này không?" Chân nhân Đồ Linh nhìn Vương Kỳ và Phùng Lạc Y, bình thản hỏi: "Nếu khả thi, thì đại diện cho con đường của chúng ta vẫn còn một tia hy vọng. Nhưng ngay cả cái toàn năng trong tưởng tượng của chúng ta cũng không làm được..."

Phùng Lạc Y hỏi: "Kết quả ra sao?"

Chân nhân Đồ Linh đáp lại bằng một nụ cười khổ: "Không tốt lắm."

Nếu tồn tại một chương trình Giáp phán đoán vấn đề dừng (đầu vào của Giáp là một chương trình), chúng ta xây dựng một chương trình Ất mới, chương trình này gọi Giáp nhưng lại cho kết quả ngược lại với Giáp: Nếu đầu vào của Ất được Giáp phán đoán là dừng, thì Ất không dừng; nếu đầu vào của Ất được Giáp phán đoán là không dừng, thì Ất dừng.

Giả định tồn tại máy tiên tri có khả năng phán đoán vấn đề dừng, nếu trên băng giấy của cỗ máy này viết "mã" của một máy Turing bình thường cùng với đầu vào, thì nó không cần tính toán cũng có thể biết ngay máy Turing bình thường đó gặp đầu vào chỉ định thì có dừng hay không.

Thế nhưng, nếu thay tất cả ba chữ "máy Turing" trong chứng minh bằng "máy tiên tri có khả năng phán đoán vấn đề số học", còn các phần khác giữ nguyên không đổi? Chứng minh về tính bất toàn vẫn thành lập!

Có lẽ chính tư duy của con người đã hạn chế trí tưởng tượng của họ, ngay cả cái toàn năng trong tưởng tượng của con người cũng không thể vượt qua vạch kẻ này.

Ngay cả Đại Đạo Thánh Âm, cũng không thể gõ mở cánh cửa này. (Còn tiếp.)