“Tôi biết rồi! Tôi biết rồi!” Giọng nói đầy phấn khích của Tô Quân Vũ vang vọng khắp nơi tập huấn. Hắn gào lên, kích động đến mức dùng pháp lực nghiền nát xấp bản thảo trước mặt, tung bay lên không trung, tựa như tiên nữ rải hoa.

Những ngày gần đây, nơi tập huấn này luôn bao trùm bởi bầu không khí ảm đạm. Một nhóm toán giả với niềm tin chắc chắn sẽ bị phủ định đang cùng nhau học tập trao đổi, trông chẳng khác nào những tử tù đang ôm nhau sưởi ấm.

Tiếng hét này của Tô Quân Vũ không nghi ngờ gì chính là nguồn cổ vũ to lớn cho những người còn lại.

Bạc Tiếu Phong rung người một cái. Hắn biết Tô Quân Vũ đang suy nghĩ điều gì. Tuy rằng đủ loại dấu hiệu đều cho thấy, có lẽ đã có tiền bối nào đó chứng minh được cái gọi là "bất toàn", hoặc chí ít cũng đã phủ định tư duy của Toán Chủ.

Thế nhưng, khi kết quả này thực sự bày ra trước mắt, hắn vẫn có chút không dám tin.

Dáng vẻ của Tô Quân Vũ cũng thu hút sự chú ý của những người khác. Mấy ngày nay, tư tưởng kỳ quái của hắn đã được không ít người biết đến. Nghe nói hắn đang suy nghĩ về chuyện "bất toàn", nhiều người đang âm thầm quan sát. Hoặc là chờ xem trò cười, hoặc là chờ đợi sự thành công của hắn.

Mà giờ đây, hắn thành công rồi sao?

Càng nhiều người vây quanh Tô Quân Vũ. Bạc Tiếu Phong là người đầu tiên gượng cười: “Tô Quân Vũ… chúc mừng… chúc mừng nhé…”

Tô Quân Vũ xua tay: “Chưa đến lúc chúc mừng đâu. Tôi cảm thấy mình vô tình tìm được một phương hướng trọng đại… Nếu thành công, chuyện Nguyên Thần đã nằm trong tầm tay.”

Một tu sĩ khác quen biết Tô Quân Vũ hỏi: “Nguyên Thần… cậu mới Kim Đan được ba bốn năm nay thôi mà?”

“Con đường Nguyên Thần à. Không, nếu tôi thực sự giải quyết được vấn đề này, đừng nói là Nguyên Thần, ngay cả Luyện Hư Niết Bàn cũng là chuyện ván đã đóng thuyền.” Tô Quân Vũ lộ vẻ cực kỳ hưng phấn: “Đây có khả năng là thành quả cấp Tiêu Dao!”

Mọi người hít vào một hơi lạnh.

Đạt được thành quả cấp Tiêu Dao trước hoặc sau khi vượt qua cửa ải Nguyên Thần, rồi cứ thế bình ổn tấn thăng Tiêu Dao. Những tu sĩ như vậy không ít. Thái Nhất Thiên Tôn chính là ví dụ điển hình. Rất nhiều tu sĩ thiên tài nổi danh từ sớm đều như thế.

Ánh mắt mọi người nhìn Tô Quân Vũ lập tức trở nên khác biệt. Thành quả cấp Tiêu Dao đồng nghĩa với một tương lai vô hạn tươi sáng. Cho dù có nỗ lực theo hướng này mà thất bại, thì đó cũng là phủ định một con đường sai lầm. Mà trong quá trình "phủ định" này, tu sĩ phát động xung kích cũng có thể nhận được lợi ích to lớn.

Hơn nữa, thành quả cấp Tiêu Dao có thể xuất hiện lúc này, ngoài câu hỏi thứ hai trong hai mươi ba câu hỏi là "Chứng minh tính hoàn bị" ra, thì còn có thể là gì nữa?

“Cậu tìm được manh mối rồi?” Cao Kế Dương vội vàng truy vấn. Dù hắn đã thay đổi tư duy, nhưng vẫn chưa tìm ra lối đi dẫn đến tính bất toàn.

Tô Quân Vũ gật đầu, nói: “Được thôi. Nhưng xin nói trước, manh mối này các người không được cướp đi đâu đấy.”

“Tô sư huynh, bao nhiêu người nhìn đây này, tôi không tin còn có kẻ nào thực sự không biết xấu hổ đến thế.” Bạc Tiếu Nhã lớn tiếng nói. Đối với chứng minh về tính bất toàn kia, cô đã sớm không kiên nhẫn nổi, chỉ chờ xem chứng minh mà thôi.

Bạc Tiếu Phong cũng nói: “Đúng vậy. Lão Tô, nếu lúc này có kẻ đạo nhái manh mối của cậu, tôi… cùng người nhà của tôi, nhất định sẽ ủng hộ cậu.”

Cái gọi là "người nhà" mà Bạc Tiếu Phong nhắc đến, chính là toàn bộ Bạc gia bao gồm nhiều vị tu sĩ cấp Tiêu Dao. Không ai có thể phớt lờ lời cảnh báo này.

Mà nhiều người khác thì lớn tiếng: “Biết đâu là thứ đã được tiền bối nào đó chứng minh rồi, có cần phải giấu giếm thế không? Nói mau! Nói mau đi!”

Đệ tử Vạn Pháp Môn này từ lâu đã mong ngóng câu trả lời cho vấn đề này.

Tô Quân Vũ gật đầu: “Được, vậy tôi nói một chút. Các người biết về tập hợp liên tục chứ?”

“Tập hợp liên tục?” Cao Kế Dương lập tức nhận ra điểm bất thường: “Câu hỏi thứ hai còn liên quan đến tập hợp liên tục sao? Câu thứ nhất và câu thứ hai, thực chất là hai mặt của một vấn đề?”

Tô Quân Vũ cũng ngẩn người: “Một câu hỏi hai mặt? Có cách nói này sao?”

Ngay sau đó, hắn cũng nhận ra điều gì đó, dở khóc dở cười nói: “Cái đó… xin lỗi mọi người, linh cảm vừa rồi của tôi là về câu hỏi thứ nhất. Không liên quan gì đến câu thứ hai cả.”

“Câu thứ nhất?” Bạc Tiếu Phong trợn tròn mắt: “Không phải cậu đang suy nghĩ về câu thứ hai sao? Sao lại chạy sang câu thứ nhất rồi?”

“Chỉ là vô tình đụng phải thôi.” Tô Quân Vũ cười lớn: “Để phủ định tính hoàn bị, gần đây tôi đang suy nghĩ về mọi ngóc ngách mà toán học có thể tư duy, đặc biệt là trong hệ thống lý thuyết tập hợp. Sau đó, tôi nghĩ đến cái gọi là ‘tiên đề tập hợp’, rồi từ tiên đề đó, tôi tìm thấy linh cảm…”

“Dừng lại!” Cao Kế Dương ngăn Tô Quân Vũ, rồi dùng ngón tay vẽ một vòng tròn giữa không trung. Linh khí trời đất theo ý chí của hắn hội tụ vào trong vòng tròn này, hóa thành một pháp độ hoàn chỉnh. Vòng linh quang cứ thế bao quanh nhóm người xung quanh Tô Quân Vũ.

Cao Kế Dương trầm giọng nói: “Chúng ta có thể suy đoán rằng câu thứ hai đã có người giải được. Nhưng hiện tại vẫn chưa có dấu hiệu nào cho thấy câu thứ nhất cũng đã có người khác giải quyết. Vì vậy, ý tưởng này vẫn nên thuộc về một mình Tô sư đệ.”

“Nếu các sư huynh đệ xung quanh vẫn muốn nghiên cứu trong lĩnh vực câu thứ nhất, và còn muốn giữ thể diện, thì tốt nhất đừng nghe tiếp. Bằng không, sau này nếu xảy ra tranh chấp, mặt mũi mọi người đều không hay ho gì.”

Một lát sau, hai ba vị tông sư cấp Nguyên Thần lui khỏi vòng tròn của Cao Kế Dương. Tác dụng của vòng linh quang này là ngăn cách cảm ứng trong ngoài. Chỉ cần ra khỏi vòng tròn này, Tô Quân Vũ có bàn luận gì họ cũng không thể nghe, không thể thấy.

Nếu họ thực sự có linh cảm giống với Tô Quân Vũ, thì mới là có lý mà không nói rõ được. Nhất là khi Tô Quân Vũ trông có vẻ quan hệ khá tốt với hai anh em nhà họ Bạc. Nếu vì thế mà để lại ấn tượng xấu trong mắt Bạc gia – một thế lực khổng lồ kia, thì mới là thiệt thòi lớn.

Lúc này, Cao Kế Dương mới nói với Tô Quân Vũ: “Tô sư đệ, cậu có thể tiếp tục rồi. Nhưng đừng nói quá nhiều, chỉ cần điểm đến là được.”

Tô Quân Vũ cười gãi gãi sau gáy: “Sư đệ trong lòng quá phấn khích, nhất thời lỗ mãng, sư huynh dạy bảo rất phải.”

“May mà lĩnh vực của tôi không liên quan đến câu thứ nhất, bằng không chắc chắn tôi cũng không nhịn được mà muốn nghe thử.” Cao Kế Dương cười: “Giờ cậu nói đi.”

“Giảng đi nào!” Mọi người thúc giục.

“Vậy tôi giảng một chút. Trước hết, tôi phải nói rõ rằng đây chỉ là một ý niệm, một manh mối của tôi lúc này, tôi chưa có quy trình cụ thể, cũng không rõ lý thuyết tiền đề cho quy trình này đã hoàn thiện hay chưa.”

“Tôi nghĩ thế này. Đầu tiên, chúng ta phải xây dựng một khung, sau đó tất cả các tập hợp tồn tại được cho phép bởi tiên đề lý thuyết tập hợp đều đặt trong khung này. Sau đó, bên trong khung này, chúng ta mới tiến hành thao tác như thế này…”

Xung quanh Tô Quân Vũ dần trở nên yên tĩnh.

“Bây giờ, mình vẫn nên suy nghĩ lại về tập hợp liên tục.”

Sau khi kết thúc việc trao đổi thư từ với Lộ Tiểu Thiến, Vương Kỳ lại ngồi vào bàn làm việc của mình, bắt đầu suy nghĩ về vấn đề chứng minh tập hợp liên tục.

“Trước tiên, là phương pháp chứng minh của Gödel cho vấn đề này.”

“Công việc của Gödel chính là xây dựng một khung khổng lồ, bên trong khung này chứa tất cả các ‘tập hợp có thể xây dựng’ trong hệ thống tiên đề ZFC. Sau đó, trong mô hình này, Gödel đã chứng minh được rằng trong hệ thống tiên đề ZFC, giả thuyết tập hợp liên tục không thể bị chứng minh là sai.”

“Và hai mươi ba năm sau khi Gödel đưa ra chứng minh này, một nhà toán học khác là Cohen đã đưa ra chứng minh. Vị này đã chứng minh được rằng trong hệ thống tiên đề ZFC, giả thuyết tập hợp liên tục không thể được chứng minh là đúng.”

“Nói cách khác, giả thuyết tập hợp liên tục thực chất là một vấn đề không thể quyết định. Nó độc lập nằm ngoài lý thuyết tập hợp, dù là đúng hay không đúng, dù bạn chấp nhận nó hay không chấp nhận nó, đều không ảnh hưởng đến bất cứ điều gì.”

“Giả thuyết nổi tiếng do người sáng lập lý thuyết tập hợp đặt ra dựa trên chính lý thuyết tập hợp, lại độc lập nằm ngoài lý thuyết tập hợp, đây đúng là tạo hóa trêu ngươi mà.” Vương Kỳ khẽ cảm thán một câu.

“Mà phương pháp cưỡng ép (Forcing) lại hoàn toàn khác biệt với tư duy của Gödel.”

Cách gọi "phương pháp cưỡng ép" này khá bạo lực, thực tế tư duy của nó cũng rất gần với việc bẻ khóa bạo lực. Nó mở rộng phạm vi của "tập hợp có thể xây dựng" xuống dưới phạm vi tối thiểu mà hệ thống tiên đề ZFC cho phép, sau đó dần dần tiếp cận kết quả đó.

Do lập luận này liên quan đến việc "tạo ra tập hợp vốn không tồn tại", nên quá trình chứng minh bằng phương pháp cưỡng ép của Cohen thâm sâu hơn quá trình của Gödel gấp nhiều lần.

Và đây cũng là phần mấu chốt nhất. Ý nghĩa của "phương pháp cưỡng ép" không chỉ nằm ở tập hợp liên tục. Sự xuất hiện của nó giúp các nhà toán học có thể phát hiện ra nhiều mệnh đề khác độc lập với hệ thống tiên đề ZFC.

Nếu xét thuần túy từ góc độ toán học, sự tác động của phương pháp cưỡng ép thậm chí còn lớn hơn cả định lý bất toàn của Gödel.

Trong lịch sử Trái Đất, một bộ phận các nhà toán học đứng đầu là Hilbert, cho đến chết vẫn phớt lờ Gödel. Trong đó tất nhiên có một phần lớn nguyên nhân là do tranh cãi về quan điểm, tranh cãi về đức tin, họ hoàn toàn không thể chấp nhận lý thuyết của Gödel.

Thế nhưng, điều này cũng liên quan đến việc lập luận của Gödel "không đủ tính toán học".

Trong mắt một bộ phận nhà toán học, định lý bất toàn của Gödel giống như một bài văn nghị luận hơn là một quá trình chứng minh toán học.

“Chỉ cần mình có thể hoàn thành phương pháp cưỡng ép, toán học của Thần Châu có thể bước vào một cảnh giới mới.”

Vương Kỳ viết như bay. Trong chốc lát, trong thư phòng chỉ còn lại tiếng ngòi bút ma sát với giấy.

“Tìm kiếm… tìm kiếm tập hợp nhỏ hơn cả tập hợp có thể xây dựng dưới tiên đề ZFC…”

“Tiên đề độc lập…”

“Độc lập…”

Trong suy nghĩ của Vương Kỳ, pháp lực trong cơ thể hắn lại xảy ra những thay đổi vi tế.

Chỉ là lần này, xung quanh hắn không xuất hiện bất kỳ dị tượng nào, pháp lực cũng không có dấu hiệu bạo động hay sụp đổ.

Mọi thay đổi dường như đều lặng lẽ không tiếng động. Dường như pháp lực của hắn chỉ vừa trải qua một chút điều chỉnh nhỏ.

Chính bản thân Vương Kỳ cũng không biết, sự điều chỉnh mới này rốt cuộc có tác dụng gì.