Sau khi Achille chết, trong hàng ngũ quân Hy Lạp xảy ra một câu chuyện vừa xấu xa bỉ ổi vừa đau đớn thương tâm. Đó là việc quyết định xem ai là người được thừa kế bộ áo giáp và chiếc khiên của Achille, một báu vật do thần Thợ rèn-Héphaïstos đã tốn bao công sức mới tạo nên được. Nữ thần Thétis không thể chỉ định xem ai là người được nhận cái vinh dự này bởi nàng chẳng biết dựa vào điều gì để phán quyết. Achille cũng chẳng dặn lại trao báu vật của mình cho ai. Quả là khó xử. Cuối cùng nữ thần Thétis phán truyền cho hai anh em Agamemnon và Ménélas biết chủ kiến của bà: hãy trao báu vật đó cho vị tướng nào đã chiến đấu xuất sắc nhất trong trận đánh bảo vệ thi hài Achille. Căn cứ vào lời phán truyền ấy thì tướng Ajax Lớn hoặc Ulysse phải được nhận bộ áo giáp và chiếc khiên vì hai chàng là những người đã có công lớn trong việc đẩy lui quân Troie và mang thi hài Achille về doanh trại, nhưng phần thưởng chỉ có một mà người xứng đáng lại có hai. Chỉ còn cách bỏ phiếu kín để quyết định. Người ta nêu ra một câu hỏi cho các tù binh Troie: trong hai vị tướng Hy Lạp, Ajax và Ulysse, ai là người xuất sắc nhất, đáng sợ nhất? Và đặt hai bình đựng phiếu, một của Ajax, một của Ulysse. Tưởng việc làm như thế thì minh bạch và công bằng, nhưng không, nữ thần Athéna vì yêu quý Ulysse và thù ghét Ajax đã xúi giục, bày đặt cách gian lận cho anh em Atrides để khi kiểm phiếu Ulysse được nhiều phiếu hơn. Sở dĩ nữ thần ghét Ajax là vì trong những trận chiến đấu với quân Troie đã có lần Ajax coi thường, khước từ sự giúp đỡ của nữ thần. Đó là một hành động ngạo mạn, kiêu căng đáng phải trừng phạt. Kết quả là bằng những thủ đoạn gian lận, bỉ ổi, xấu xa do nữ thần Athéna bày đặt, Ulysse đã thắng, được thừa hưởng bộ áo giáp và cái khiên của Achille. Căm giận việc làm xấu xa, bỉ ổi của hai anh em Atrides, Ajax tìm cách trả thù. Đêm khuya hôm đó, Ajax mang gươm đột nhập vào đại bản doanh quân Hy Lạp mưu toan giết lũ quân canh rồi hạ sát hai anh em Atrides và Ulysse, nhưng nữ thần Athéna luôn luôn quan tâm đến Ulysse, luôn luôn ở bên cạnh Ulysse cũng như hai anh em Atrides để bảo vệ, giúp đỡ bộ ba tướng lĩnh này. Vì thế, khi thấy Ajax cầm gươm lẻn ra đi, nữ thần Athéna bèn làm cho người dũng sĩ này mất trí đi lạc đường ra bãi chăn nuôi. Nữ thần còn làm cho Ajax mất trí đến nỗi trông cuốc hóa gà, trông thấy đàn bò của quân Hy Lạp bắt được thả trên bãi hóa ra những chiến binh Hy Lạp, và thế là Ajax vung gươm xông vào chém giết và bắt một số giải về lều của mình. Chàng đinh ninh rằng mình đã giết chết hai anh em Atrides và bắt sống được Ulysse.
Trời sáng, quân Hy Lạp thấy súc vật bị giết bị mất bèn truy tìm và phát hiện ra thủ phạm là Ajax. Ulysse được lệnh đi rình bắt Ajax đem về nộp cho hai anh em Atrides để trị tội. Trong khi rình nấp, Ulysse được nữ thần Athéna hiện ra nói cho biết rõ đầu đuôi câu chuyện, và thế là câu chuyện Ajax tả xung hữu đột giữa đàn bò tưởng như là mình tả xung hữu đột giữa quân Hy Lạp, giết Agamemnon, hạ Ménélas, bắt sống Ulysse không cánh mà bay lan truyền từ miệng người này sang miệng người khác khắp trong toàn quân Hy Lạp.
Còn Ajax, sau cuộc tung hoành, hồi tỉnh lại. Nữ thần Athéna đã trả lại trí khôn cho chàng. Vì thế chàng đã tỉnh táo để nghe rõ tường tận câu chuyện do mình gây ra vừa qua, một câu chuyện lố bịch, tức cười do hành động điên rồ của chàng. Chao ôi! Thật quá ư xấu hổ, quá ư đau xót! Đúng là một hành động đê nhục không xứng đáng với danh dự của một dũng tướng danh tiếng, chiến công lừng lẫy. Chàng càng nghĩ lại càng thấy hổ thẹn, đau xót, càng thấy nhục nhã. Chàng thấy không thể sống được khi danh dự đã bị ô uế. Chỉ có cái chết mới giải thoát nổi cho chàng. Ajax nhờ người nữ tì Termesse nhắn lại người em ruột của mình và Teucer trông nom hộ chàng đứa con trai còn nhỏ, sau đó gửi đứa bé về quê hương Salamine để ông bà nội nuôi nấng giúp. Chàng lại dặn khi con chàng khôn lớn, Teucer sẽ trao cho nó chiếc khiên quý của mình, chiếc khiên dày bảy lớp da bò mà không một vũ khí nào đâm thủng được. Chàng mong muốn con chàng sẽ mang tên của chiếc khiên: Eurysaces. Dặn dò mọi việc xong, Ajax lấy thanh gươm mà xưa kia Nestor trao tặng cho mình, ra đi, nói là đi cầu xin các vị thần tha thứ cho hành động phạm thượng của mình và hiến dâng cho thần Hadès thanh gươm báu.
Teucer từ Mysie trở về. Chàng được nhà tiên tri Calchas báo cho biết, phải giữ Ajax lại trong lều trại hết ngày hôm nay, nếu để Ajax đi ra khỏi nhà sẽ gặp tai họa nguy hiểm đến tính mạng. Teucer vội cho quan hầu về phi báo cho mọi người biết, nhưng không kịp nữa rồi, Ajax đã ra đi. Mọi người chạy vội đi tìm Ajax, và người ta thấy chàng đã nằm chết bên bờ biển, một thanh gươm xuyên suốt qua ngực.
Được tin Ajax chết, hai anh em Atrides liền đến tận nơi xem xét. Họ ra lệnh cấm không cho chôn cất thi hài Ajax và coi đó là một hình phạt xứng đáng với tội phản nghịch của Ajax. Mệnh lệnh này của họ ban ra gây cho tướng Teucer một sự phẫn nộ, chàng kiên quyết kháng cự lại lệnh này, sẵn sàng đứng ra chấp nhận mọi thử thách, đương đầu để bảo vệ quyền được chôn cất cho thi hài người anh mình, dù phải trả bằng bất cứ giá nào. Quân Hy Lạp lại đứng trước nguy cơ của một sự chia rẽ phân biệt. May thay, người anh hùng Ulysse tới can thiệp. Chàng chỉ ra cho anh em Atrides biết, hành động trừng phạt đối với thi hài Ajax là vô nhân đạo và không cao thượng, hơn nữa vi phạm vào điều ngăn cấm của thánh thần. Chàng phân giải cho họ rõ, mặc dù Ajax vừa qua đã có hành động chống đối, thù địch đối với họ song dù sao Ajax cũng là một vị tướng có công lớn trong cuộc Chiến tranh Troie. Không thể đối xử bạc nghĩa như thế với một vị tướng có công, không nên căm thù, trả thù đối với một cái xác chết. Ajax xứng đáng được hưởng, và phải được hưởng những nghi lễ trọng thể trong việc an táng.
Cuối cùng hai anh em Atrides phải nhượng bộ. Quân Hy Lạp lại có thêm một nấm mồ được xây dựng to đẹp bên cạnh nấm mồ chung của những người anh hùng: Patrocle, Antiloque và Achille. Đó là nấm mồ của Ajax Lớn, con của Télamon, quê ở Salamine, người anh hùng mà tài năng và sức mạnh trong toàn quân Hy Lạp chỉ chịu thua kém có Achille.